בנם של פרי ומיכאל. נולד ביום ט"ו באב תש"י (29.7.1950) בעיר אורמיה שבאיראן.

כשהיה בן שנה, עלתה המשפחה לארץ. תחילה שהו במחנה קליטה לעולים בעיר חיפה, ומשם עברו לגבעתיים.

משה, שנקרא מוסא בפי בני משפחתו וחבריו, גדל והתחנך בגבעתיים וחי בה כל חייו. הוא למד בבית הספר היסודי "אמונים" בעיר ובתיכון "עמל - ליידי דייויס" בתל אביב.

מגיל צעיר אהב לעבוד עם הידיים ונהנה במיוחד לגלף בעץ. בידי הזהב שלו יצר מגוון עבודות מרשימות, בהן קרש חיתוך ללחם שהכין עבור אימו ופסלון עץ יפהפה בדמות כלב, שגילף כמתנה לאחותו הגדולה, פנינה.

עם סיום לימודיו בתיכון התגייס לצה"ל ושירת כלוחם בחיל התותחנים.

ב-6 באוקטובר 1973, עם פרוץ מלחמת יום הכיפורים, גויס למילואים ולחם באזור שדה התעופה ביר גפגפה בסיני. כשחזר מהמלחמה, סבל מהתקפי חרדה רבים. בני משפחתו הבינו כי הוא סובל מטראומה קשה ובהמשך, הוכר כנכה צה"ל.

את אשתו, אוולין, הכיר כשיצא לבלות עם קרובי משפחה. השניים נישאו בשנת 1985 ושנה לאחר מכן נולדה בתם, פרי. בהמשך, משה ואוולין נפרדו וזמן לא רב לאחר מכן, הלכה אוולין לעולמה בעקבות מחלה.

מצבו הנפשי של משה הקשה עליו לגדל את בתו בכוחות עצמו, אך הוא השקיע בקשר איתה ככל יכולתו ומעולם לא ויתר עליה. הוא אהב את פרי בכל ליבו והתגאה בה, הקפיד לבלות איתה זמן, לקח אותה לטיולים ולבילויים שונים ולא החסיר ממנה דבר.

משה היה אדם תמים וטוב לב, אופטימי ובעל חוש הומור כובש. קרוביו מספרים שהיה ישר יותר מסרגל, מעולם לא עשה רע לאדם אחר ואהב מאוד לתת ולעזור לכולם. אחותו, פנינה, תיארה את נדיבותו וסיפרה כיצד הקפיד לפנק אותה בכל הזדמנות עם מרק חם כשעבד במסעדה.

לאורך השנים עבר משה מספר אשפוזים במרכזים רפואיים לבריאות הנפש והתקשה להתמיד בעבודה מסודרת. השנים הארוכות בהן התמודד עם הטראומה נתנו את אותותיהן גם על בריאותו הפיזית, והוא סבל מבעיות בלב.

באוגוסט 2002 לקה משה באירוע לבבי והלך לעולמו.

משה קלימי נפטר ביום כ"א באלול תשס"ב (29.8.2002). בן חמישים ושתיים בפטירתו. הובא למנוחות בבית העלמין ירקון בפתח תקווה. הותיר אחריו בת ואחיות.

בתו, פרי, כתבה: "אבא היקר, נוח על משכבך בשלום. אוהבת בתך פרי, לנצח זוכרת ומתגעגעת".

אחותו הגדולה, פנינה, כתבה: "אחי היקר והאהוב, נוח על משכבך בשלום. אוהבת ומתגעגעת".